Inverse matrices

글의 모든 내용은 3Blue1Brown님의 영상을 참고하여 글을 썼습니다.

출저 : https://www.youtube.com/@3blue1brown

3Blue1Brown

 

Linear algebra를 광범위하게 적용할 수 있는 이유는 특정한 형태의 식으로 존재할 때, 각 변수의 상수를 Scaling하여 서로 더하기만 하면 값을 도출할 수 있기 때문이다.

 

이때 좌항에 모든 변수의 곱을 넣고, 우항에 상수를 놓아 세로 방향으로 같은 변수끼리 상수를 놓는 것을

Linear system of equations 이라 한다.

이를 다음처럼 표현할 수 있다.

 

 

이때 가장 먼저 판별해야하는 것이 det()=0인지 아닌지를 판별하는 것이다.

0이 아닌 경우 위 식을 통해 x, y, z를 손쉽게 구할 수 있는데 이는 A벡터에 다른 벡터를 곱했을 때 나올 수 있는 벡터는 v벡터 하나이다. 이 변환을 역방향으로 돌리면 x벡터를 찾을 수 있다.

 

inverse matrices

inverse matrices는 역행렬의 의미로 표현 시 벡터의 오른쪽 위에 -1을 표기한다.

역행렬의 의미는 변환 전의 상태로 돌아간다는 뜻이다.

 

한가지 예시로 basis vector이 존재하고 90도 회전하는 연산을 수행한다고 가정하자.

위와 같은 (0, 1), (-1, 0)의 형태로 transformation 했을 때 이의 역행렬은 다음과 같다.

이때 이 행렬에 역행렬을 곱하게 되면 원래 상태로 되돌아온다.

90도 왼쪽으로 회전한것의 역행렬은 90도 오른쪽방향으로 회전한 것이 된다.

즉 inverse matrices은 연산하기 전의 상태로 되돌리고, 이를 identity transformation이라 부른다.

 

왜 det()=0이 되면 안될까?

determinant의 값은 영역의 넓이라고 표현했었다. 2차원 상에 존재하는 두 벡터가 있다고 가정할 때 det()=0인 경우는 다음과 같다.

두 벡터의 방향이 같아서 2차원 상에서도 1차원상의 공간밖에 표현이 안되고 이를 linear dependent라고 한다 했다.

함수에서는 직선상의 존재하는 공간을 역행렬을 통해 차원을 늘릴 수 있는 행위는 수행할 수 없다.

2차원상에서 다음과같은 여러개의 벡터가 하나의 직선을 이루어야 하는데 함수는 하나의 입력에 하나의 출력값을 만든다. 따라서 불가능한 경우이고 3차원 공간상에서도 마찬가지로 det()=0일 때는 온전한 해를 구하지 못한다.

 

det()=0이어도 해는 존재할 수 있다

det()=0이어도 다 같은 0이 아니다.

determinant의 값이어도 만약 그 형태가 점이 아닌 직선이나 평면이라면 해는 존재할 수 있다.

이때 변환된 결과가 직선형태면 rand=1, 평면일 경우는 rand=2라고 표현한다.

즉 차원을 뜻하고 column space라고 부른다.

 

연산 전과 후의 차원이 변하지 않는 full rank일 경우에는 원점으로 변하는 영벡터는 언제나 단 1개이다.

하지만 연산 후 rank가 낮아질 경우에는 영벡터로 변하는 벡터는 수없이 생긴다.

 

만약 차원이 축소될 때 모든 벡터들이 원점으로 돌아가게 된다면 이 공간을 null space라 한다.